số hoàn hảo

Bách khoa toàn thư hé Wikipedia

Số trả hảo (hay thường hay gọi là số trả chỉnh, số trả thiện hoặc số trả thành) là một trong những vẹn toàn dương nhưng mà tổng những ước vẹn toàn dương thực sự của chính nó (các số vẹn toàn dương bị nó phân chia không còn nước ngoài trừ nó) vị chủ yếu nó.

Bạn đang xem: số hoàn hảo

Định nghĩa số hoàn hảo[sửa | sửa mã nguồn]

Số tuyệt vời và hoàn hảo nhất là những số vẹn toàn dương n sao cho:

trong cơ, s(n) là hàm tổng những ước thực sự của n. Ví dụ:

Hoặc:

trong cơ, là hàm tổng những ước của n, bao hàm cả n).

Các số hoàn hảo chẵn[sửa | sửa mã nguồn]

Euclid vẫn mày mò đi ra 4 số hoàn hảo nhỏ nhất bên dưới dạng: 2p−1(2p − 1):

Chú ý rằng: 2p − 1 đều là số nhân tố trong những ví dụ bên trên, Euclid minh chứng rằng công thức: 2p−1(2p − 1) tiếp tục mang đến tớ một số hoàn hảo chẵn Lúc và chỉ Lúc 2p − một là số nhân tố (số nhân tố Mersenne).

Các căn nhà toán học tập thượng cổ gật đầu đó là 4 số hoàn hảo nhỏ nhất mà người ta biết, tuy nhiên hầu hết những giả thiết bên trên trên đây đang không được minh chứng là chính. Một vô số này đó là nếu như 2, 3, 5, 7 là tư số nhân tố trước tiên thì chắc chắn sẽ sở hữu được số hoàn mỹ loại năm Lúc p = 11, số nhân tố loại năm. Nhưng 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 lại là thích hợp số, và thế là p = 11 ko nhận được số hoàn hảo. 2 sai lầm đáng tiếc không giống của mình là:

Số tuyệt vời và hoàn hảo nhất loại năm nên sở hữu năm chữ số bám theo hệ cơ số 10 vì thế tư số hoàn hảo trước tiên sở hữu theo lần lượt 1, 2, 3, 4 chữ số

Chữ số sản phẩm đơn vị chức năng của số hoàn hảo nên là 6, 8, 6, 8 và cứ thế tái diễn.

Xem thêm: lốp xe dự phòng ooc mất rồi

Số tuyệt vời và hoàn hảo nhất loại năm là bao hàm 8 chữ số, vậy nhận định và đánh giá 1 vẫn sai, về nhận định và đánh giá thứ hai thì số này tận nằm trong là 6. Tuy nhiên cho tới số hoàn hảo loại sáu là thì cũng tận nằm trong là 6. Nói cách tiếp theo bất kể số hoàn hảo chẵn nào thì cũng nên sở hữu chữ số tận nằm trong là 6 hoặc 8.

Để là số nhân tố thì ĐK cần thiết tuy nhiên ko đầy đủ là p là số nhân tố. Số nhân tố sở hữu dạng 2p − 1 được gọi là Số nhân tố Mersenne sau thời điểm được một căn nhà tu vô thế kỷ 17 là Marin Mersenne, người học tập lý thuyết số và số hoàn hảo lần đi ra.

Hơn 1000 năm tiếp theo Euclid, Ibn al-Haytham Alhazen circa quan sát rằng từng số hoàn hảo chẵn đều nên sở hữu dạng 2p−1(2p − 1) Lúc 2p − một là số nhân tố, tuy nhiên ông tớ ko thể minh chứng được thành phẩm này.[1] Mãi cho tới thế kỷ 18 là Leonhard Euler vẫn minh chứng công thức 2p−1(2p − 1) là tiếp tục lần đi ra những số hoàn hảo chẵn. Đó là nguyên nhân dẫn cho tới sự tương tác đằm thắm số hoàn hảo và số nhân tố Mersenne. Kết trái khoáy này thông thường được gọi là thuyết Euclid-Euler. Tính đến mon 9 năm 2008, mới mẻ chỉ mất 46 số Mersenne được lần đi ra,[2] sở hữu nghĩa đó là số hoàn hảo loại 46 được biết, số lớn số 1 là 243.112.608 × (243.112.609 − 1) với 25.956.377 chữ số.

39 số hoàn hảo chẵn trước tiên sở hữu dạng 2p−1(2p − 1) khi

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (dãy số A000043 vô bảng OEIS)

7 số không giống được biết là lúc p = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43112609. Chưa ai biết là sở hữu nhằm sót số nào là đằm thắm bọn chúng hoặc không

Cũng không có bất kì ai biết chắc hẳn rằng là sở hữu vô hạn số nhân tố Mersenne và số hoàn hảo hay là không. Việc lần đi ra những số nhân tố Mersenne vừa mới được triển khai vị những siêu máy tính

Các số hoàn hảo đều là số tam giác loại 2p − 1 (là tổng của toàn bộ những số ngẫu nhiên từ một cho tới 2p − 1):

p = 2:
p = 3:
p = 5:
p = 7:

Các số hoàn hảo đều là tổng hợp chập 2 của 2p:

p = 2:
p = 3:
p = 5:
p = 7:

Các số hoàn hảo đều phải sở hữu tổng những nghịch tặc hòn đảo của những ước (kể cả chủ yếu nó) chính vị 2:

6:
28:
496:
8128:

Số 6 là số ngẫu nhiên có một không hai sở hữu tổng những ước vị tích những ước (không kể chủ yếu nó):

Trừ số 6, từng số hoàn hảo đều là tổng của 2(p−1)/2 số lập phương lẻ tiếp tục kể từ 13 cho tới (2(p+1)/2 − 1)3:

Xem thêm: đào mộ đào ra quỷ

p = 3:
p = 5:
p = 7:

Trừ số 6, từng số hoàn hảo Lúc phân chia 9 thì đều nhận được thương là số tam giác loại (2p − 2)/3 và số dư là 1:

p = 3:
p = 5:
p = 7:

Số tuyệt vời và hoàn hảo nhất lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Hiện bên trên người tớ vẫn không biết được liệu số hoàn hảo lẻ nào là ko tuy vậy vẫn có tương đối nhiều thành phẩm phân tích. Trong 1946, Jacques Lefèvre tuyên bố rằng luật của Euclid mang đến từng số hoàn hảo[3], tức thị nhận định rằng không tồn tại số hoàn hảo lẻ nào là tồn bên trên cả. Euler thì thưa rằng: "Liệu ... sở hữu số hoàn hảo lẻ nào là là thắc mắc đặc biệt khó khăn rất có thể giải đáp".[4] Gần trên đây rộng lớn, Carl Pomerance đã lấy đi ra tranh biện vị heuristic rằng quả tình ko số hoàn hảo lẻ nào là nên tồn bên trên [5] Tất cả những số hoàn hảo đều là số điều tiết của Ore và thời điểm hiện tại người tớ vẫn đang được fake thuyết không tồn tại số điều tiết lẻ nào là nước ngoài trừ số 1.

Bất cứ số hoàn hảo lẻ N nên vừa lòng những ĐK sau:

  • N > 101500.[6]
  • N ko phân chia không còn vị 105.[7]
  • N bên dưới dạng N ≡ 1 (mod 12) hoặc N ≡ 117 (mod 468) hoặc N ≡ 81 (mod 324).[8]
  • N bên dưới dạng
trong đó:

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Danh sách số nhân tố Mersenne và số hoàn hảo

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham”, Bộ tàng trữ lịch sử hào hùng toán học tập MacTutor, Đại học tập St. Andrews
  2. ^ “Great Internet Mersenne Prime Search”. Truy cập 7 mon 10 năm 2015.
  3. ^ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. tr. 6.
  4. ^ http://www.math.harvard.edu/~knill/seminars/perfect/handout.pdf[liên kết URL chỉ mất từng PDF]
  5. ^ Oddperfect.org. Lưu trữ 2006-12-29 bên trên Wayback Machine
  6. ^ a b c Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012). “Odd perfect numbers are greater kêu ca 101500(PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1869–1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005.
  7. ^ Kühnel, Ullrich (1950). “Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen”. Mathematische Zeitschrift (bằng giờ Đức). 52: 202–211. doi:10.1007/BF02230691. S2CID 120754476.
  8. ^ Roberts, T (2008). “On the Form of an Odd Perfect Number” (PDF). Australian Mathematical Gazette. 35 (4): 244.
  9. ^ a b Zelinsky, Joshua (3 mon 8 năm 2021). “On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number” (PDF). Integers. 21. Truy cập ngày 7 mon 8 năm 2021.
  10. ^ Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E (2014). “Improved upper bounds for odd multiperfect numbers”. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 89 (3): 353–359. doi:10.1017/S0004972713000488.
  11. ^ Nielsen, Pace Phường. (2003). “An upper bound for odd perfect numbers”. Integers. 3: A14–A22. Truy cập ngày 23 mon 3 năm 2021.
  12. ^ Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2014). “On the number of prime factors of an odd perfect number”. Mathematics of Computation. 83 (289): 2435–2439. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02776-7.
  13. ^ Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). “On the radical of a perfect number”. New York Journal of Mathematics. 16: 23–30. Truy cập ngày 7 mon 12 năm 2018.
  14. ^ Goto, T; Ohno, Y (2008). “Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108(PDF). Mathematics of Computation. 77 (263): 1859–1868. Bibcode:2008MaCom..77.1859G. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 7 mon 8 năm 2011. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  15. ^ Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter (2012). “On Prime Factors of Odd Perfect Numbers”. International Journal of Number Theory. 8 (6): 1537–1540. doi:10.1142/S1793042112500935.
  16. ^ Iannucci, DE (1999). “The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand” (PDF). Mathematics of Computation. 68 (228): 1749–1760. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  17. ^ Zelinsky, Joshua (tháng 7 năm 2019). “Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number”. International Journal of Number Theory. 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734. doi:10.1142/S1793042119500659. S2CID 62885986..
  18. ^ Iannucci, DE (2000). “The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred” (PDF). Mathematics of Computation. 69 (230): 867–879. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  19. ^ Bibby, Sean; Vyncke, Pieter; Zelinsky, Joshua (23 mon 11 năm 2021). “On the Third Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number” (PDF). Integers. 21. Truy cập ngày 6 mon 12 năm 2021.
  20. ^ Nielsen, Pace Phường. (2015). “Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds” (PDF). Mathematics of Computation. 84 (295): 2549–2567. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. Truy cập ngày 13 mon 8 năm 2015.
  21. ^ Nielsen, Pace Phường. (2007). “Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors” (PDF). Mathematics of Computation. 76 (260): 2109–2126. arXiv:math/0602485. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. S2CID 2767519. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
  • Perfect numbers - History and Theory
  • Weisstein, Eric W., "perfect number", MathWorld.
  • List of Perfect Numbers Lưu trữ 2001-07-15 bên trên Wayback Machine at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • List of known Perfect Numbers Lưu trữ 2009-05-03 bên trên Wayback Machine All known perfect numbers are here.
  • OddPerfect.org Lưu trữ 2018-11-06 bên trên Wayback Machine A projected distributed computing project lớn tìm kiếm for odd perfect numbers.